1990 Putnam A-4 문제

 

문제. 평면에서 어떤 점 $P$를 선택하면, 점 $P$로부터 거리가 무리수인 점들이 평면에서 지워진다고 하자. 최소 몇 개의 점들을 선택해야 평면 위에 있는 점들을 모두 지울 수 있을까?

 

아래에 해답이 있으니 보실 분들은 더보기를 눌러주세요.

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해답

정답은 3개입니다. 일단, 최소 개수가 3개이니 1개, 2개가 왜 안 되는지 살펴봅시다.

 

처음 점을 하나 선택할 때, 일반성을 잃지 않고 그 점을 원점, 즉 $(0,0)$으로 설정할 수 있습니다. 원점만을 선택한다면, 거리가 유리수인 점이 존재하므로 평면 위에 있는 점들을 모두 지울 수 없습니다.

 

그럼, 이제 원점 $(0,0)$과 임의의 다른 점을 선택해봅시다. 축을 그리지 않았기 때문에, 회전을 생각한다면 일반성을 잃지 않고 임의의 점을 $(a,0)$ $(a \in \mathbb{R^+})$이라고 생각할 수 있습니다. 원점을 먼저 선택하여 점들을 지웠을 때, 평면에서 남은 점들의 집합 $A$를 생각해봅시다.

 

$$
A = {(r\cos{\theta}, r\sin{\theta}) \ | \ r \in \mathbb{Q}^{+} \cup {0}, \theta \in [0, 2\pi) }
$$

 

그리고, $(a,0)$과 $A$의 원소 중 $r=1$인 점들과의 거리 $d$를 생각해봅시다.

 

$$

d(\theta) = \sqrt{(cos{\theta}-a)^2 + \sin^2{\theta}} = \sqrt{1 + a^2 - 2a\cos{\theta}}
$$

 

$d(\theta)$는 $[0, 2\pi)$에서 $\mathbb{R}^{+} \cup {0}$로 보내는 함수로 생각할 때, $(0, 2\pi)$에서 연속임을 알 수 있습니다. 그리고

 

$$
\min_{\theta \in [0, 2\pi)} {d(\theta)} = |a-1|, \quad \max_{\theta \in [0, 2\pi)} {d(\theta)} = |a+1|
$$

 

이므로, 유리수의 조밀성에 의해

 

$$
|a-1| < d < |a+1|
$$

 

를 만족시키는 유리수 $d$가 존재함을 알 수 있습니다.

 

마지막으로 3개의 점을 택하였을 때, 모든 점이 지워지는 경우를 보겠습니다. $(0,0), (1,0), (e,0)$을 택하였을 때, 이 세 점과의 거리가 모두 유리수인 점 $(x,y)$가 있다고 가정합시다. 만약 모순이 생겨 이러한 점 $(x,y)$가 존재하지 않는다면, 3개의 점으로 모든 평면을 지울 수 있다는 결론이 나오겠죠? 수식으로 적어봅시다.

 

$$
\sqrt{x^2 + y^2} = p \Longrightarrow x^2 + y^2 = p^2 \quad \text{for some } p \in \mathbb{Q^{+}}
$$
$$
\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = q \quad \text{for some } q \in \mathbb{Q^{+}}
$$
$$
\Longrightarrow (x-1)^2 + y^2 = p^2 - 2x + 1 = q^2
$$
$$
\Longrightarrow \frac{p^2 - q^2 + 1}{2} = x \in \mathbb{Q} \tag{1}
$$
$$
\sqrt{(x-e)^2 + y^2} = r \quad \text{for some } r \in \mathbb{Q^{+}}
$$
$$
\Longrightarrow (x-e)^2 + y^2 = p^2 - 2ex + e^2 = r^2
$$
$$
\Longrightarrow \frac{p^2 - r^2 + e^2}{2e} = x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \tag{2}
$$

 

(1)과 (2)에 의해 모순이 발생하므로 즉 $(x,y)$가 존재하지 않음을 알 수 있습니다.

 

위의 증명 과정에서, 점 $(e,0)$에서 초월수인 $e$를 고를 필요는 없고 제곱을 했을 때 무리수인 점을 고르기만 해도 충분히 평면을 모두 지울 수 있다는 것을 아실 겁니다. 일반화는 Apollonius's theorem을 통해 증명할 수 있으니, 관심 있으신 분들은 알아보시기 바랍니다.