$1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k$의 공식을 구할 수 있을까? - $\text{Euler-Maclaurin}$ 공식

오늘은 $1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k$의 닫힌 형식을 구해보고자 합니다. 고등학교 수열 단원에서, 이러한 급수의 일반항을 배우셨을 겁니다. \begin{align*}     1 + 2 + 3 + \cdots + n &= \frac{n(n+1)}{2}\\     1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\     1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 &= \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2\\                          &\vdots \end{align*} 위의 식들을 보면, 자연스럽게 떠오르는 생각이 하나 있을 겁니다. 이것을 일반화한 급수 \begin{al..

2024.09.17