안녕하세요. 저번 글에서는 아이반 니븐(Ivan Niven)의 증명을 사용하였습니다. 이 글에서는 람베르트(Lambert)의 증명을 다루어보도록 하겠습니다. 그전에, 유한 연분수라는 새로운 분수를 정의해봅시다.정의유한 연분수(Finite Continued Fraction)는 다음과 같은 형태의 표현입니다.$$a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}},$$여기서 $a_0$ 은 실수, $a_k$ 은 양의 실수 ($k \in {1,2,\dots,n}$)입니다. 연분수가 단순(Simple)하다는 것은 $a_0, a_1, \dots, a_n$가 모두 정수일 때를 말합니다. 이제부터 위와 같은 유한 연분수를 표현하고자 할..

$\pi$는 친숙한 무리수로 잘 알려져 있습니다. 하지만 고등학교 교과과정과 학부 과정에서는 $\pi$가 무리수임을 아무런 증명 없이 받아들입니다. 이 글에서는 아이반 니븐(Ivan Niven)의 증명을 사용하여 $\pi$가 무리수임을 증명해 보겠습니다. 증명에 앞서 몇 가지 보조 정리를 소개하겠습니다.보조 정리 1 : 모든 실수 $x$에 대해, $\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!} = 0$ 이다.증명우선, $e^x$의 테일러 급수를 생각해 보겠습니다.$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$비판정법을 사용하면,$$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}\..