파이($\pi$)가 무리수인 이유 (2) - 람베르트(Lambert)의 증명

안녕하세요. 저번 글에서는 아이반 니븐(Ivan Niven)의 증명을 사용하였습니다. 이 글에서는 람베르트(Lambert)의 증명을 다루어보도록 하겠습니다. 그전에, 유한 연분수라는 새로운 분수를 정의해봅시다.

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정의

유한 연분수(Finite Continued Fraction)는 다음과 같은 형태의 표현입니다.

$$
a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}},
$$

여기서 $a_0$ 은 실수, $a_k$ 은 양의 실수 ($k \in {1,2,\dots,n}$)입니다. 연분수가 단순(Simple)하다는 것은 $a_0, a_1, \dots, a_n$가 모두 정수일 때를 말합니다. 이제부터 위와 같은 유한 연분수를 표현하고자 할 때 $ [a_0;a_1,\dots,a_{n}] $ 이라고 표현하겠습니다.

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보조 정리 1 : 모든 무리수는 무한 연분수로 표현할 수 있다.

증명

보조 정리를 직접 증명하기에 앞서 다음과 같은 주장을 증명해 봅시다.

 

주장 : 모든 유한 단순 연분수는 유리수로 표현할 수 있다.

 

이를 수학적 귀납법을 사용하여 증명하겠습니다. $n=1$일 때,

$$
[a_0;a_1]=a_0+\frac{1}{a_1}=\frac{a_0 a_1 +1}{a_1},
$$

이는 유리수입니다. 이제, 임의의 양의 정수 $k$에 대하여, 단순 연분수 $[a_0;a_1,a_2,\dots,a_k]$가 유리수임을 가정합시다. $a_0$는 정수, $a_1,a_2,\dots,a_{k+1}$는 양의 정수일 때,

$$
[a_0;a_1,\dots,a_{k+1}]=a_0+\frac{1}{[a_1;a_2,\dots,a_k,a_{k+1}]}.
$$

귀납 가정에 의해 $[a_1;a_2,\dots,a_k,a_{k+1}]$는 유리수이므로, 정수 $r$, $s$ ($s \neq 0$)가 존재하여

$$
[a_1;a_2,\dots,a_k,a_{k+1}]=\frac{r}{s}
$$

라고 할 수 있습니다. 따라서,

$$
[a_0;a_1,\dots,a_{k+1}]=a_0 + \frac{1}{\frac{r}{s}} = \frac{a_0 r + s}{r},
$$

이는 다시 유리수입니다. 따라서, 모든 유한 단순 연분수는 유리수로 표현됩니다.

 

주장의 역은 우리가 증명하고자 하는 보조 정리 1과 같으므로 증명이 완료됩니다.

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보조 정리 2 : $\tan(x)$의 다음과 같은 무한 연분수로 표현된다.

$$
\tan(x) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - {}\ddots}}}}
$$

증명

맥클로린 급수를 사용하여, $\tan x$는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \cfrac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots}{1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots}
$$

이를 다음과 같이 변형합니다.

\begin{align}
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} &= \cfrac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots}{1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots}\\
&=\cfrac{x\left(1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots\right)}{1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots}
=\cfrac{x}{\cfrac{{1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots}}{1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots}}\\
&=\cfrac{x}{\cfrac{\left({1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots}\right)-\left(1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots\right)+\left(1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots\right)}{1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots}}\\
&=\cfrac{x}{\cfrac{\left(1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots\right)+\left(-\frac{2}{3!}x^2+\frac{4}{5!}x^4-\frac{6}{7!}x^6+\cdots\right)}{1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots}}\\
&=\cfrac{x}{1-\cfrac{\left(\frac{2}{3!}x^2-\frac{4}{5!}x^4+\frac{6}{7!}x^6-\cdots\right)}{1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots}}
=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2\left(\frac{2}{3!}-\frac{4}{5!}x^2+\frac{6}{7!}x^4-\cdots\right)}{1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots}}\\
&=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{\frac{1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots}{\left(\frac{2}{3!}-\frac{4}{5!}x^2+\frac{6}{7!}x^4-\cdots\right)}}}
=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{\frac{1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots}{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5\cdot3}x^2+\frac{1}{7\cdot5}x^4-\cdots\right)}}}\\
&=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{\frac{\left(1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots\right)-3\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5\cdot3!}x^2+\frac{1}{7\cdot5!}x^4-\cdots\right)+3\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5\cdot3!}x^2+\frac{1}{7\cdot5!}x^4-\cdots\right)}{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5\cdot3}x^2+\frac{1}{7\cdot5}x^4-\cdots\right)}}}\\
&= \cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{\frac{3\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5\cdot3!}x^2+\frac{1}{7\cdot5!}x^4-\cdots\right)+\left(-\frac{2}{5} \frac{x^2}{3!}+\frac{4}{7}\frac{x^4}{5!}-\cdots\right)}{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5\cdot3!}x^2+\frac{1}{7\cdot5!}x^4-\cdots\right)}}}\\
&=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{3-\frac{\left(\frac{2}{5} \frac{x^2}{3!}-\frac{4}{7}\frac{x^4}{5!}+\cdots\right)}{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5\cdot3!}x^2+\frac{1}{7\cdot5!}x^4-\cdots\right)}}}
=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{3-\frac{x^2\left(\frac{2}{5} \frac{1}{3!}-\frac{4}{7}\frac{x^2}{5!}+\cdots\right)}{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5\cdot3!}x^2+\frac{1}{7\cdot5!}x^4-\cdots\right)}}}\\
&=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{3-\frac{x^2}{\frac{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5\cdot3!}x^2+\frac{1}{7\cdot5!}x^4-\cdots\right)}{\left(\frac{2}{5} \frac{1}{3!}-\frac{4}{7}\frac{x^2}{5!}+\cdots\right)}}}}\\
&= \cdots\\
\end{align}

이 과정을 반복하면,

$$
\tan(x) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - {}\ddots}}}},
$$

임을 알 수 있습니다.

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보조 정리 3 : 만약 $x$가 유리수라면, $\tan x$는 무리수이다.

증명

$x = \frac{p}{q}$ ($p, q \in \mathbb{Z}$, $p, q$는 서로소)라고 가정합시다. 그러면,

\begin{align*}
\tan \left(\frac{p}{q}\right) = \cfrac{\left(\frac{p}{q}\right)}{1 - \cfrac{\left(\frac{p}{q}\right)^2}{3 - \cfrac{\left(\frac{p}{q}\right)^2}{5 - \cfrac{\left(\frac{p}{q}\right)^2}{7 - {}\ddots}}}}\\
\end{align*}

$\therefore \tan\left(\frac{p}{q}\right)$는 무한 연분수 형태입니다. 따라서, 보조 정리 1에 의해, 만약 $x$가 유리수라면, $\tan x$는 무리수임을 알 수 있습니다.

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정리: $\pi$는 무리수이다.

증명

$\pi$를 유리수라고 가정해 봅시다. 그럼 $\frac{\pi}{4}$또한 유리수일 것입니다. 그리고 우리는
$$
\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1
$$
임을 알고 있습니다.

 

보조 정리 3에 의해, $\frac{\pi}{4}$가 유리수이므로 $ \tan \left( \frac{\pi}{4} \right)$는 무리수여야 하지만, 값이 $1$인 유리수 이므로 모순입니다. 따라서 $\pi$는 무리수임이 증명되었습니다.

 

다음 글에서는 카트라이트(Cartwright)의 증명을 살펴보겠습니다. 이해가 가지 않는 게 있으시다면 언제든 댓글 남겨주세요. 감사합니다.