안녕하세요. 이번 글에서는 오일러가 무려 7년에 걸쳐 증명했던 정리를 단 한 문장으로 증명해 버린 논문을 소개하도록 하겠습니다. 바로 페르마의 두 제곱수 정리, 그리고 돈 자기에$\text{(Don Zagier)}$의 증명입니다.홀수 소수의 패턴의 발견 정수론의 오랜 즐거움 중 하나는 소수의 패턴을 관찰하는 것입니다. $2$를 제외한 모든 소수는 홀수이니, 홀수 소수들을 죽 늘어놓고 $4$로 나눈 나머지를 살펴봅시다.$$ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ \dots \quad \longrightarrow \quad 3,\ 1,\ 3,\ 3,\ 1,\ 1,\ 3,\ 3,\ \dots $$ 당연히 나머지는 $1$ 아니면 $3$밖에 나오지 않습니다. 16세기의 수학자 알베르 지..

수학에는 이미 알려져 있던 사실 혹은 수백 년간 풀리지 않던 문제를 놀랍도록 짧고 간결하게 정리해 낸 증명이나 논문들이 있습니다. 그런 사례들을 하나씩 소개해 드리려고 합니다. 본격적으로 시작하기 전에, 가벼운 예시 하나를 보겠습니다. $AB = AC$인 이등변삼각형 $\triangle ABC$에서 $\angle B = \angle C$임은 누구나 자명하게 아는 사실입니다. 그런데 이 사실을 보조선(수선) 하나 긋지 않고 단 한 문장으로 증명할 수 있습니다.$\triangle BAC$와 $\triangle CAB$는 $\text{SAS}$ 합동이다. 따라서 $\angle B = \angle C$. $\blacksquare$ 같은 삼각형을 '뒤집어서' 자기 자신과 대응시키는 발상 하나로 증명이 끝나버립니..

우리는 고등학교에서 다음과 같은 실수의 부분집합들을 구간이라고 배웠습니다. $\{x \mid a \le x \le b\} \quad \rightarrow \quad [a, b]$$\{x \mid a $\{x \mid a \le x $\{x \mid a 이중 양 끝 원소들이 모두 포함되지 않은 구간을 열린 구간, 모두 포함된 구간을 닫힌 구간이라고 정의합니다. 이러한 열림과 닫힘의 정의는 단어 자체로도 우리의 직관과 맞아떨어지는 것 같습니다. 우리는 이때까지 열림과 닫힘을 고정된 성질로 생각해왔습니다. 아무도 $[a, b)$을 열린 집합(구간)으로 생각하지 않기 때문입니다. 하지만 이러한 집합 또한 열린 집합으로 정의될 수 있다는 것을 아시나요? 무엇을 열린 집합이라 부를지 정하는 방식, 위상$(\tex..

우리가 여섯 켤레의 양말을 아무렇게나 서랍에 넣는다고 해 봅시다. 그런데 서랍이 다섯 칸밖에 없다면 어떤 일이 벌어질까요? 어느 서랍에는 반드시 두 켤레 이상의 양말이 들어가게 됩니다. 이 단순한 사실이 오늘 이야기할 비둘기 집 원리$(\text{Pigeonhole Principle})$입니다.비둘기 집 원리는 다음과 같이 수학적으로 표현할 수 있습니다. $n+1$개의 물체를 $n$개의 상자에 넣으면, 적어도 하나의 상자에는 두 개 이상의 물체가 들어간다. 이 원리는 너무 당연해 보이지만, 다양한 수학 문제에서 중요한 역할을 합니다. 몇 가지 예시를 들어보겠습니다.Example 1. 400명이 모여 있을 때, 이들 중 두 사람 이상은 생일이 같음을 보여라. 사람의 생일은 윤년을 고려해도 총 366가지뿐인..

이번에는 카트라이트(Cartwright)의 증명을 통해 $\pi$가 무리수임을 증명해 보겠습니다. 이 증명은 조금 더 복잡하지만, 천천히 하나씩 풀어보면 충분히 이해하실 수 있을 겁니다. 정적분으로 정의된 함수를 소개하고, 이 함수와 관련된 점화식을 통해 증명을 살펴보겠습니다.정의0 이상의 정수 $n$에 대해, 정의역과 공역이 모두 실수 집합인 함수 $I_n(x)$를 다음과 같이 정의한다.$$I_n (x) = \int^{1}_{-1} (1-z^2)^n \cos(xz) dz.$$보조 정리 1 2 이상의 자연수 $n$에 대하여, 다음 식이 성립한다. $$x^2 I_n (x) = 2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x).$$ 증명$I_n (x)$에 부분적분을 해보면, \begin{al..