우리는 고등학교에서 다음과 같은 실수의 부분집합들을 구간이라고 배웠습니다. $\{x \mid a \le x \le b\} \quad \rightarrow \quad [a, b]$$\{x \mid a $\{x \mid a \le x $\{x \mid a 이중 양 끝 원소들이 모두 포함되지 않은 구간을 열린 구간, 모두 포함된 구간을 닫힌 구간이라고 정의합니다. 이러한 열림과 닫힘의 정의는 단어 자체로도 우리의 직관과 맞아떨어지는 것 같습니다. 우리는 이때까지 열림과 닫힘을 고정된 성질로 생각해왔습니다. 아무도 $[a, b)$을 열린 집합(구간)으로 생각하지 않기 때문입니다. 하지만 이러한 집합 또한 열린 집합으로 정의될 수 있다는 것을 아시나요? 무엇을 열린 집합이라 부를지 정하는 방식, 위상$(\tex..

우리가 여섯 켤레의 양말을 아무렇게나 서랍에 넣는다고 해 봅시다. 그런데 서랍이 다섯 칸밖에 없다면 어떤 일이 벌어질까요? 어느 서랍에는 반드시 두 켤레 이상의 양말이 들어가게 됩니다. 이 단순한 사실이 오늘 이야기할 비둘기 집 원리$(\text{Pigeonhole Principle})$입니다.비둘기 집 원리는 다음과 같이 수학적으로 표현할 수 있습니다. $n+1$개의 물체를 $n$개의 상자에 넣으면, 적어도 하나의 상자에는 두 개 이상의 물체가 들어간다. 이 원리는 너무 당연해 보이지만, 다양한 수학 문제에서 중요한 역할을 합니다. 몇 가지 예시를 들어보겠습니다.Example 1. 400명이 모여 있을 때, 이들 중 두 사람 이상은 생일이 같음을 보여라. 사람의 생일은 윤년을 고려해도 총 366가지뿐인..

이번에는 카트라이트(Cartwright)의 증명을 통해 $\pi$가 무리수임을 증명해 보겠습니다. 이 증명은 조금 더 복잡하지만, 천천히 하나씩 풀어보면 충분히 이해하실 수 있을 겁니다. 정적분으로 정의된 함수를 소개하고, 이 함수와 관련된 점화식을 통해 증명을 살펴보겠습니다.정의0 이상의 정수 $n$에 대해, 정의역과 공역이 모두 실수 집합인 함수 $I_n(x)$를 다음과 같이 정의한다.$$I_n (x) = \int^{1}_{-1} (1-z^2)^n \cos(xz) dz.$$보조 정리 1 2 이상의 자연수 $n$에 대하여, 다음 식이 성립한다. $$x^2 I_n (x) = 2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x).$$ 증명$I_n (x)$에 부분적분을 해보면, \begin{al..

안녕하세요. 저번 글에서는 아이반 니븐(Ivan Niven)의 증명을 사용하였습니다. 이 글에서는 람베르트(Lambert)의 증명을 다루어보도록 하겠습니다. 그전에, 유한 연분수라는 새로운 분수를 정의해봅시다.정의유한 연분수(Finite Continued Fraction)는 다음과 같은 형태의 표현입니다.$$a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}},$$여기서 $a_0$ 은 실수, $a_k$ 은 양의 실수 ($k \in {1,2,\dots,n}$)입니다. 연분수가 단순(Simple)하다는 것은 $a_0, a_1, \dots, a_n$가 모두 정수일 때를 말합니다. 이제부터 위와 같은 유한 연분수를 표현하고자 할..

$\pi$는 친숙한 무리수로 잘 알려져 있습니다. 하지만 고등학교 교과과정과 학부 과정에서는 $\pi$가 무리수임을 아무런 증명 없이 받아들입니다. 이 글에서는 아이반 니븐(Ivan Niven)의 증명을 사용하여 $\pi$가 무리수임을 증명해 보겠습니다. 증명에 앞서 몇 가지 보조 정리를 소개하겠습니다.보조 정리 1 : 모든 실수 $x$에 대해, $\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!} = 0$ 이다.증명우선, $e^x$의 테일러 급수를 생각해 보겠습니다.$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$비판정법을 사용하면,$$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}\..