$1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k$의 공식을 구할 수 있을까? - $\text{Euler-Maclaurin}$ 공식

오늘은 $1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k$의 닫힌 형식을 구해보고자 합니다. 고등학교 수열 단원에서, 이러한 급수의 일반항을 배우셨을 겁니다. $$\begin{array}{rl}1+2+3+\cdots +n& =\frac{n(n+1)}{2}\\ 1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2& =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3& ={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2\\ & ⋮\end{array}$$ 위의 식들을 보면, 자연스럽게 떠오르는 생각이 하나 있을 겁니다. 이것을 일반화한 급수 \begin{al..

2024.09.17