우리가 여섯 켤레의 양말을 아무렇게나 서랍에 넣는다고 해 봅시다. 그런데 서랍이 다섯 칸밖에 없다면 어떤 일이 벌어질까요? 어느 서랍에는 반드시 두 켤레 이상의 양말이 들어가게 됩니다. 이 단순한 사실이 오늘 이야기할 비둘기 집 원리$(\text{Pigeonhole Principle})$입니다.비둘기 집 원리는 다음과 같이 수학적으로 표현할 수 있습니다. $n+1$개의 물체를 $n$개의 상자에 넣으면, 적어도 하나의 상자에는 두 개 이상의 물체가 들어간다. 이 원리는 너무 당연해 보이지만, 다양한 수학 문제에서 중요한 역할을 합니다. 몇 가지 예시를 들어보겠습니다.Example 1. 400명이 모여 있을 때, 이들 중 두 사람 이상은 생일이 같음을 보여라. 사람의 생일은 윤년을 고려해도 총 366가지뿐인..

이번에는 카트라이트(Cartwright)의 증명을 통해 $\pi$가 무리수임을 증명해 보겠습니다. 이 증명은 조금 더 복잡하지만, 천천히 하나씩 풀어보면 충분히 이해하실 수 있을 겁니다. 정적분으로 정의된 함수를 소개하고, 이 함수와 관련된 점화식을 통해 증명을 살펴보겠습니다.정의0 이상의 정수 $n$에 대해, 정의역과 공역이 모두 실수 집합인 함수 $I_n(x)$를 다음과 같이 정의한다.$$I_n (x) = \int^{1}_{-1} (1-z^2)^n \cos(xz) dz.$$보조 정리 1 2 이상의 자연수 $n$에 대하여, 다음 식이 성립한다. $$x^2 I_n (x) = 2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x).$$ 증명$I_n (x)$에 부분적분을 해보면, \begin{al..

안녕하세요. 저번 글에서는 아이반 니븐(Ivan Niven)의 증명을 사용하였습니다. 이 글에서는 람베르트(Lambert)의 증명을 다루어보도록 하겠습니다. 그전에, 유한 연분수라는 새로운 분수를 정의해봅시다.정의유한 연분수(Finite Continued Fraction)는 다음과 같은 형태의 표현입니다.$$a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}},$$여기서 $a_0$ 은 실수, $a_k$ 은 양의 실수 ($k \in {1,2,\dots,n}$)입니다. 연분수가 단순(Simple)하다는 것은 $a_0, a_1, \dots, a_n$가 모두 정수일 때를 말합니다. 이제부터 위와 같은 유한 연분수를 표현하고자 할..

$\pi$는 친숙한 무리수로 잘 알려져 있습니다. 하지만 고등학교 교과과정과 학부 과정에서는 $\pi$가 무리수임을 아무런 증명 없이 받아들입니다. 이 글에서는 아이반 니븐(Ivan Niven)의 증명을 사용하여 $\pi$가 무리수임을 증명해 보겠습니다. 증명에 앞서 몇 가지 보조 정리를 소개하겠습니다.보조 정리 1 : 모든 실수 $x$에 대해, $\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!} = 0$ 이다.증명우선, $e^x$의 테일러 급수를 생각해 보겠습니다.$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$비판정법을 사용하면,$$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}\..

안녕하세요. 저번 글에서는 주제의 핵심인 아벨-루피니($\text{Abel-Ruffini}$)정리에 대해 알아보았습니다. 간략하게 말씀드리자면, $n \leq 4$에서는 일반적인 근의 공식이 존재한다는 것이었는데요. 그렇다면 3,4차 방정식의 근의 공식은 어떻게 유도할까요? 이번 글에서는 2차 방정식의 근의 공식 유도는 생략하고 3,4차 방정식의 근의 공식을 유도하는 과정에 대해 말씀드리겠습니다. 일단 근의 공식을 유도하기 앞서, 다항 방정식의 몇가지 특성을 알려드리고 시작하겠습니다. 1. 어떤 다항식이든 최고 차항의 계수를 1로 만들어 다항 방정식을 풀 수 있다. $a_n \neq 0$을 만족하는 다항 방정식 \[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 ..