파이($\pi$)가 무리수인 이유 (1) - 아이반 니븐(Ivan Niven)의 증명

$\pi$는 친숙한 무리수로 잘 알려져 있습니다. 하지만 고등학교 교과과정과 학부 과정에서는 $\pi$가 무리수임을 아무런 증명 없이 받아들입니다. 이 글에서는 아이반 니븐(Ivan Niven)의 증명을 사용하여 $\pi$가 무리수임을 증명해 보겠습니다. 증명에 앞서 몇 가지 보조 정리를 소개하겠습니다.보조 정리 1 : 모든 실수 $x$에 대해, $\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!} = 0$ 이다.증명우선, $e^x$의 테일러 급수를 생각해 보겠습니다.$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$비판정법을 사용하면,$$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}\..

2024.10.13