이번에는 카트라이트(Cartwright)의 증명을 통해 $\pi$가 무리수임을 증명해 보겠습니다. 이 증명은 조금 더 복잡하지만, 천천히 하나씩 풀어보면 충분히 이해하실 수 있을 겁니다. 정적분으로 정의된 함수를 소개하고, 이 함수와 관련된 점화식을 통해 증명을 살펴보겠습니다.정의0 이상의 정수 $n$에 대해, 정의역과 공역이 모두 실수 집합인 함수 $I_n(x)$를 다음과 같이 정의한다.$$I_n (x) = \int^{1}_{-1} (1-z^2)^n \cos(xz) dz.$$보조 정리 1 2 이상의 자연수 $n$에 대하여, 다음 식이 성립한다. $$x^2 I_n (x) = 2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x).$$ 증명$I_n (x)$에 부분적분을 해보면, \begin{al..

안녕하세요. 저번 글에서는 아이반 니븐(Ivan Niven)의 증명을 사용하였습니다. 이 글에서는 람베르트(Lambert)의 증명을 다루어보도록 하겠습니다. 그전에, 유한 연분수라는 새로운 분수를 정의해봅시다.정의유한 연분수(Finite Continued Fraction)는 다음과 같은 형태의 표현입니다.$$a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}},$$여기서 $a_0$ 은 실수, $a_k$ 은 양의 실수 ($k \in {1,2,\dots,n}$)입니다. 연분수가 단순(Simple)하다는 것은 $a_0, a_1, \dots, a_n$가 모두 정수일 때를 말합니다. 이제부터 위와 같은 유한 연분수를 표현하고자 할..

$\pi$는 친숙한 무리수로 잘 알려져 있습니다. 하지만 고등학교 교과과정과 학부 과정에서는 $\pi$가 무리수임을 아무런 증명 없이 받아들입니다. 이 글에서는 아이반 니븐(Ivan Niven)의 증명을 사용하여 $\pi$가 무리수임을 증명해 보겠습니다. 증명에 앞서 몇 가지 보조 정리를 소개하겠습니다.보조 정리 1 : 모든 실수 $x$에 대해, $\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!} = 0$ 이다.증명우선, $e^x$의 테일러 급수를 생각해 보겠습니다.$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$비판정법을 사용하면,$$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}\..

안녕하세요. 저번 글에서는 주제의 핵심인 아벨-루피니($\text{Abel-Ruffini}$)정리에 대해 알아보았습니다. 간략하게 말씀드리자면, $n \leq 4$에서는 일반적인 근의 공식이 존재한다는 것이었는데요. 그렇다면 3,4차 방정식의 근의 공식은 어떻게 유도할까요? 이번 글에서는 2차 방정식의 근의 공식 유도는 생략하고 3,4차 방정식의 근의 공식을 유도하는 과정에 대해 말씀드리겠습니다. 일단 근의 공식을 유도하기 앞서, 다항 방정식의 몇가지 특성을 알려드리고 시작하겠습니다. 1. 어떤 다항식이든 최고 차항의 계수를 1로 만들어 다항 방정식을 풀 수 있다. $a_n \neq 0$을 만족하는 다항 방정식 \[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 ..

안녕하세요. 이번 글에서는 5차 방정식에서 근의 공식이 왜 존재하지 않는지에 대해 설명드리고자 합니다. 사실 제 수학 여정은 이 질문에서 시작되었는데요. 고등학교 시절 3차 방정식의 근의 공식에 관심을 가지게 된 후, 자연스럽게 5차 방정식의 근의 공식까지 궁금해졌습니다. 그러나 5차 방정식에는 근의 공식이 없다는 사실을 알게 되었을 때 적잖은 충격을 받았습니다. 그 이유를 알고자 했지만 당시의 지식으로는 이해할 수 없었고, 이 질문에 대한 답을 찾고자 수학 공부를 더욱 열심히 하게 되었습니다. 이후 대학에서 수학과에 진학하여 '현대대수학'이라는 전공수학을 공부하면서 마침내 그 답에 도달할 수 있었습니다. 이 블로그는 저와 같이 수학에 흥미를 가진 중·고등학생들이 제 글을 보며 수학적 의문을 탐구하는 과..