5차 방정식의 근의 공식이 없는 이유 (0) - 아벨-루피니$\text{(Abel-Ruffini)}$ 정리

 

안녕하세요. 이번 글에서는 5차 방정식에서 근의 공식이 왜 존재하지 않는지에 대해 설명드리고자 합니다.
 
사실 제 수학 여정은 이 질문에서 시작되었는데요. 고등학교 시절 3차 방정식의 근의 공식에 관심을 가지게 된 후, 자연스럽게 5차 방정식의 근의 공식까지 궁금해졌습니다. 그러나 5차 방정식에는 근의 공식이 없다는 사실을 알게 되었을 때 적잖은 충격을 받았습니다. 그 이유를 알고자 했지만 당시의 지식으로는 이해할 수 없었고, 이 질문에 대한 답을 찾고자 수학 공부를 더욱 열심히 하게 되었습니다. 이후 대학에서 수학과에 진학하여 '현대대수학'이라는 전공수학을 공부하면서 마침내 그 답에 도달할 수 있었습니다.
 
이 블로그는 저와 같이 수학에 흥미를 가진 중·고등학생들이 제 글을 보며 수학적 의문을 탐구하는 과정에서 즐거움을 느끼길 바라는 마음으로 시작하게 되었습니다. 그러던 중, 최근에 이 주제를 쉽게 풀어낸 글을 읽게 되었습니다. 그래서 이번 글에서는 전공 지식이 없더라도 쉽게 이해할 수 있는 방식으로 이 주제를 설명하려 합니다. 고등학교 시절 제대로 이해하지 못했던 것이 마음에 남았던 만큼, 저처럼 이 주제가 궁금해서 찾아오신 분들에게 조금이나마 도움이 되길 바랍니다.
 
첫 번째 글인 만큼 공식이란 무엇인지, 그리고 아벨-루피니$\text{(Abel-Ruffini)}$ 정리에 대해 간단히 소개만 드리겠습니다.

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공식이란 무엇인가?

공식이란, 대수적 연산으로 유한하게  연결된 기본 함수(로그함수, 다항함수 등)들의 표현이라고 보시면 됩니다. 예를 들어, 다음과 같은 공식들을 생각할 수 있습니다.
 

Example 1. 2차 방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 근의 공식은

 
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$
 
이다.
 

Example 2. 자연수의 합 공식은
 

$$ 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$
 
이다.
 
이렇게, 사칙연산 또는 근호, 지수 같은 대수적 연산으로 유한하게 연결된 형태를 공식이라고 부릅니다.
 
그렇다면 공식이 아닌 경우는 무엇이 있을까요?
 
Counterexample 1. 방정식 $x^5-x-a=0$의 근은 다음과 같이 표현된다.
 
\[
x = \sqrt[5]{a + \sqrt[5]{a + \sqrt[5]{a + \cdots}}}
\]
 
이다. 
 
여기서는 근호가 무한히 중첩되므로, 유한한 대수적 연산으로 해결할 수 없습니다. 이런 경우는 우리가 정의한 '공식'에 해당하지 않습니다. 다음으로 아벨-루피니$\text{(Abel-Ruffini)}$ 정리를 소개하겠습니다.

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아벨-루피니$\text{(Abel-Ruffini)}$ 정리

$a_n \neq 0$을 만족하는 다항 방정식
\[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0\] 은 $n \leq 4$ 일 때만 일반적인 근의 공식이 존재한다. 즉 $ n > 5 $ 일 때는 일반적인 근의 공식이 존재하지 않는다.

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이것이 바로 우리가 증명하고자 하는 정리입니다. 다음 글에서는 3,4차 방정식의 근의 공식이 존재하는지 알아보기 위해서 근의 공식을 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 궁금한 점이 있으시면 편하게 질문 주시면 되겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.