파이($\pi$)가 무리수인 이유 (1) - 아이반 니븐(Ivan Niven)의 증명

$\pi$는 친숙한 무리수로 잘 알려져 있습니다. 하지만 고등학교 교과과정과 학부 과정에서는 $\pi$가 무리수임을 아무런 증명 없이 받아들입니다. 이 글에서는 아이반 니븐(Ivan Niven)의 증명을 사용하여 $\pi$가 무리수임을 증명해 보겠습니다.

 

증명에 앞서 몇 가지 보조 정리를 소개하겠습니다.

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보조 정리 1 : 모든 실수 $x$에 대해, $\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!} = 0$ 이다.

증명

우선, $e^x$의 테일러 급수를 생각해 보겠습니다.
$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
$$
비판정법을 사용하면,
$$
\lim_{n \to \infty}\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}\right| = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{x}{n+1}\right| = 0
$$
이므로 $\frac{x^n}{n!}$은 감소수열임을 알 수 있습니다. 또한 모든 실수 $x$에 대해 $e^x$의 급수가 수렴하므로,
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!}=0
$$
임을 알 수 있습니다.

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이제, $\pi$가 유리수라고 가정해 보겠습니다. 즉, $\pi$를 서로소 $a, b$에 대하여 $\frac{a}{b}$로 나타낼 수 있다고 가정하는 것입니다.

 

먼저, 다음과 같은 함수를 정의하겠습니다.
$$
f(x)=\frac{x^n (a-bx)^n}{n!}, \quad \text{$n$은 자연수}
$$

그리고 함수 $F$는 다음과 같이 정의합니다.
$$
F(x)=f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)-\cdots+(-1)^n f^{(2n)}(x)
$$
여기서 $f^{(k)}(x)$ 는 $f(x)$를 $k$번 미분한 것을 의미합니다.

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보조 정리 2 : 모든 실수 $x$에 대해, $f(x) = f(\pi - x)$가 성립한다.

증명

$$
f(x) = \frac{x^n (a - bx)^n}{n!} = \frac{x^n b^n \left(\frac{a}{b} - x\right)^n}{n!} = \frac{(\pi - x)^n (bx)^n}{n!}
$$
$$
bx = a - b\left(\frac{a}{b} - x\right) = a - b(\pi - x)
$$
따라서,
$$
f(x) = \frac{(\pi - x)^n (a - b(\pi - x))^n}{n!} = f(\pi - x)
$$

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보조 정리 3 : $F(0) + F(\pi)$ 는 정수이다.

증명

우선,
$$
F(0) = f(0) - f''(0) + f^{(4)}(0) - \cdots + (-1)^n f^{(2n)}(0)
$$
이므로 모든 자연수 $k$에 대하여 각 도함수 $f^{(k)}(0)$가 정수임을 보인다면 $F(0)$도 정수임을 보일 수 있습니다. $f(x)$의 형태를 보면,
$$
f(x)=\frac{c_0}{n!} x^n + \frac{c_1}{n!} x^{n+1} + \cdots + \frac{c_n}{n!} x^{2n}, \quad \text{$c_i$는 정수}
$$
로 나타낼 수 있습니다. 이제 $f^{(k)}(0)$의 값을 $k$의 범위에 따라 구해보겠습니다.

1. $k < n$일 때:

$$
f^{(k)}(0)=0
$$

2. $n \le k \le 2n$일 때:

$$
f^{(k)}(0)=\frac{c_k}{n!} k!
$$

3. $k > 2n$일 때:

$$
f^{(k)}(0)=0
$$
따라서, 모든 자연수 $k$에 대해 $f^{(k)}(0)$가 정수임을 알 수 있습니다. 그러므로 $F(0)$도 정수입니다.

 

또한 보조 정리 2에 의해 $f^{(k)}(\pi) = (-1)^k f^{(k)}(0)$임을 알 수 있습니다. 따라서 모든 자연수 $k$에 대하여 각 도함수 $f^{(k)}(\pi)$도 정수이므로, 마찬가지로 $F(\pi)$도 정수입니다.

 

그러므로 $F(0) + F(\pi)$가 정수임을 알 수 있습니다.

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보조 정리 4 : $F(0) + F(\pi) = \int_0^\pi f(x)\sin x dx$

증명

먼저, $F(x)$의 두 번째 도함수를 구하면,
$$
F''(x) = f''(x) - f^{(4)}(x) + f^{(6)}(x) - \cdots + (-1)^n f^{(2n)}(x)
$$
입니다. 따라서,
$$
f(x) = F(x) + F''(x)
$$
임을 알 수 있습니다. 양변에 $\sin{x}$를 곱한 뒤 $[0, \pi]$에서 적분하면
\begin{align*}
f(x)\sin{x} &= F(x)\sin{x} + F''(x)\sin{x} \\
\int^{\pi}_{0} f(x)\sin{x}dx &= \int^{\pi}_{0} F(x)\sin{x}dx + \int^{\pi}_{0} F''(x)\sin{x}dx
\end{align*}
가 됩니다. 우항을 부분 적분을 통해 계산하면,
\begin{align*}
\int^{\pi}_{0} F(x)\sin{x}dx &= \left[-F(x)\cos{x} \right]^{\pi}_{0} + \int^{\pi}_{0} F'(x)\cos{x}dx \\
\int^{\pi}_{0} F''(x)\sin{x}dx &= \left[F'(x)\sin{x} \right]^{\pi}_{0} - \int^{\pi}_{0} F'(x)\cos{x}dx
\end{align*}
가 됩니다. 따라서
$$
\int^{\pi}_{0} f(x)\sin{x}dx = \left[-F(x)\cos{x} \right]^{\pi}_{0} + \left[F'(x)\sin{x} \right]^{\pi}_{0} = F(0) + F(\pi)
$$
임을 알 수 있습니다.

 

이제 모든 보조 정리를 바탕으로 $\pi$가 무리수임을 증명해 보겠습니다.

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정리 : $\pi$는 무리수이다.

증명

먼저, 다음과 같은 부등식을 얻습니다.
$$
(\pi -x)bx = -b(x^2 - \pi x) = -b\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2 + \frac{b\pi^2}{4} \le \frac{a\pi}{4}
$$
따라서 모든 실수 $x$에 대해,
$$
0 < \frac{(\pi -x)^n (bx)^n}{n!} \le \frac{1}{n!} \left(\frac{a\pi}{4}\right)^n
$$
가 성립합니다. 또한, $\sin{x}$는 $(0, \pi)$에서 $0 < \sin{x} < 1$이므로,
$$
0 < f(x)\sin{x} < \frac{1}{n!} \left(\frac{a\pi}{4}\right)^n
$$
양변을 $[0, \pi]$에서 적분하면
$$
0 < \int^\pi _0 f(x)\sin{x}dx < \frac{\pi}{n!} \left(\frac{a\pi}{4}\right)^n
$$
보조 정리 3을 통해
$$
0 < F(0) + F(\pi) < \frac{\pi}{n!} \left(\frac{a\pi}{4}\right)^n
$$

을 얻을 수 있습니다.

 

여기서 $\frac{\pi}{n!} \left(\frac{a\pi}{4}\right)^n$는 초기값이 $\frac{a\pi^2}{4} > 1$ 이면서 보조 정리 1에 의해

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n!} \left(\frac{a\pi}{4}\right)^n = 0
$$

인 감소 수열임을 알 수 있습니다. 따라서, 부등식

$$
\frac{\pi}{N!} \left(\frac{a\pi}{4}\right)^N < 1
$$

을 만족하는 자연수 $N$이 존재함을 알 수 있습니다. 이 사실을 통해

$$
0 < F(0) + F(\pi) < \frac{\pi}{N!} \left(\frac{a\pi}{4}\right)^N < 1
$$

을 얻을 수 있습니다. 보조 정리 3에 의해 $F(0) + F(\pi)$는 정수이지만, $0$과 $1$ 사이에 존재한다는 것은 모순입니다. 따라서 우리가 가정한 "$\pi$가 유리수이다" 틀렸음을 알 수 있습니다. 따라서, $\pi$는 무리수임이 증명되었습니다.

 

다음 글에서는 람베르트(Lambert)의 증명을 살펴보겠습니다. 이해가 가지 않는 게 있으시다면 언제든 댓글 남겨주세요. 감사합니다.