파이($\pi$)가 무리수인 이유 (3) - 카트라이트(Cartwright)의 증명

이번에는 카트라이트(Cartwright)의 증명을 통해 $\pi$가 무리수임을 증명해 보겠습니다. 이 증명은 조금 더 복잡하지만, 천천히 하나씩 풀어보면 충분히 이해하실 수 있을 겁니다. 정적분으로 정의된 함수를 소개하고, 이 함수와 관련된 점화식을 통해 증명을 살펴보겠습니다.

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정의

0 이상의 정수 $n$에 대해, 정의역과 공역이 모두 실수 집합인 함수 $I_n(x)$를 다음과 같이 정의한다.

$$
I_n (x) = \int^{1}_{-1} (1-z^2)^n \cos(xz) dz.
$$

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보조 정리 1

 

2 이상의 자연수 $n$에 대하여, 다음 식이 성립한다.

 

$$
x^2 I_n (x) = 2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x).
$$

 

증명

$I_n (x)$에 부분적분을 해보면,

 

\begin{align}
I_n(x) &= \int^{1}_{-1} (1-z^2)^n \cos(x z) dz = \left[ \frac{(1-z^2)^n \sin (xz)}{x} \right]^{1}_{-1} + \int^{1}_{-1} \frac{2n z (1-z^2)^{n-1} \sin(xz)}{x} dz \\
&= 2n \int^{1}_{-1} \frac{z (1-z^2)^{n-1} \sin(x z)}{x} dz.
\end{align}

 

가 됩니다. 다시 한번 부분 적분을 적용하면,

 

\begin{align}
I_n(x) &= -2n \left[ \frac{(1-z^2)^{n-1} \cos(x z)}{x} \right]^{1}_{-1} + 2n \int^{1}_{-1} \frac{(1-z^2)^{n-1} - 2(n-1)z^2(1-z^2)^{n-2}}{x^2} \cos(x z) dz \\
&=\frac{2n}{x^2}\int^{1}_{-1} \{(1-z^2)^{n-1}-2(n-1)z^2 (1-z^2)^{n-2}\} \cos (xz) dz \\
&= \frac{2n}{x^2} \int^{1}_{-1} (1-z^2)^{n-1} \cos(x z) dz - \frac{4n(n-1)}{x^2} \int^{1}_{-1} z^2 (1-z^2)^{n-2} \cos(x z) dz.
\end{align}

 

따라서, 위 결과를 통해 다음을 얻습니다.

 

$$
I_n(x) = \frac{2n}{x^2} I_{n-1}(x) - \frac{4n(n-1)}{x^2} \int^{1}_{-1} z^2 (1-z^2)^{n-2} \cos(x z) dz \tag{$*$}.
$$

 

한편, $I_{n-1}(x) - I_{n-2}(x)$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

\begin{align}
I_{n-1}(x) - I_{n-2}(x) &= \int^{1}_{-1} (1-z^2)^{n-1} \cos(xz) dz - \int^{1}_{-1} (1-z^2)^{n-2} \cos(xz) dz\\
&= \int^{1}_{-1} (1-z^2)^{n-2} (1 - z^2 -1) \cos(xz) dz\\
& = -\int^{1}_{-1} z^2 (1-z^2)^{n-2} \cos(xz) dz.
\end{align}

 

이를 이용하여 식 $(*)$에다 넣으면 최종적으로 다음을 얻을 수 있습니다.

 

\begin{align}
I_n(x) &= \frac{2n}{x^2} I_{n-1}(x) + \frac{4n(n-1)}{x^2} \left( I_{n-1}(x) - I_{n-2}(x) \right)\\
&= \frac{2n(2n-1)}{x^2} I_{n-1}(x) - \frac{4n(n-1)}{x^2} I_{n-2}(x).
\end{align}

 

따라서, $n \ge 2$일 때,

 

$$
x^2 I_n (x) = 2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x)
$$

 

임을 증명할 수 있습니다.

 

만약 $J_n(x) = x^{2n+1}I_n(x)$로 정의한다면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

 

\begin{equation*}
J_n(x)=
\begin{cases}
2 \sin x, &{n = 0} \\
-4x\cos x + 4\sin x, &{n = 1} \\
2n(2n-1)J_{n-1}(x)-4n(n-1)x^2J_{n-2}(x) , &{n \geq 2}.
\end{cases}
\end{equation*}

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보조 정리 2

 

모든 자연수 $n$에 대해, $J_n(x)$는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.

 

$$
J_n(x) = n!(P_n(x) \cos x + Q_n(x) \sin x)
$$

($P_n(x)$, $Q_n(x)$는 계수가 모두 정수인 $n$차 이하의 다항식이다.)

 

증명

귀납법을 사용하여 증명해 봅시다. $n=0$과 $n=1$일 때는 이미 위에서 증명을 했습니다.

 

$$
J_0(x) = 2 \sin x, \quad J_1(x) = -4x \cos x + 4 \sin x.
$$

 

이제 $n = k$일 때 성립한다고 가정하겠습니다. 우선, 보조 정리 1을 생각해 봅시다.

 

$$
J_n(x) = 2n(2n-1) J_{n-1}(x) - 4n(n-1) x^2 J_{n-2}(x).
$$

 

$n = k+1$일 때, 이를 대입하면

 

$$
J_{k+1}(x) = 2(k+1)(2k+1) J_k(x) - 4k(k+1) x^2 J_{k-1}(x)
$$

 

가 됩니다. $J_k(x)$와 $J_{k-1}(x)$에 대한 가정을 대입하면

 

\begin{align}
J_{k+1}(x) &= 2(k+1)(2k+1) k! (P_k(x) \cos x + Q_k(x) \sin x) - 4k(k+1) x^2 (k-1)! (P_{k-1}(x) \cos x + Q_{k-1}(x) \sin x)\\
&= (k+1)! \left[ \left\{ 2(2k+1) P_k(x) - 4x^2 P_{k-1}(x) \right\} \cos x + \left\{ 2(2k+1) Q_k(x) - 4x^2 Q_{k-1}(x) \right\} \sin x \right].
\end{align}

 

여기서

 

$$
P_{k+1}(x) = 2(2k+1) P_k(x) - 4x^2 P_{k-1}(x), \quad Q_{k+1}(x) = 2(2k+1) Q_k(x) - 4x^2 Q_{k-1}(x)
$$

 

로 두면, $P_{k+1}(x)$와 $Q_{k+1}(x)$는 각각 $k+1$차 이하의 다항식이 되며, 계수는 모두 정수입니다. 따라서, 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $n$에 대해

 

$$
J_n(x) = n! (P_n(x) \cos x + Q_n(x) \sin x).
$$

 

임을 증명할 수 있습니다.

 

이제 본 증명으로 넘어가겠습니다.

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정리 : $\pi$는 무리수이다.

 

증명

$\pi$가 유리수라고 가정해 봅시다. 그러면 $\frac {\pi}{2}$도 유리수이므로 서로소인 $a$와 $b$에 대해 $\frac{a}{b}$로 나타낼 수 있습니다.

 

이때 $x^{2n+1}I_n(x)$는 보조 정리 2를 통해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

$$
x^{2n+1}I_n(x)=n!(P_n(x)\cos x + Q_n(x)\sin x).
$$

 

여기서 $x = \frac{\pi}{2}$를 대입하면,

 

\begin{align*}
    &\left(\frac{a}{b}\right)^{2n+1}I_n\left(\frac{\pi}{2}\right)=n!\cdot Q_n\left(\frac{\pi}{2}\right) \\
    &\frac{a^{2n+1}}{n!}I_n\left(\frac{\pi}{2}\right)=Q_n\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot b^{2n+1}. \\
\end{align*}

 

우항이 정수이므로, 좌항도 정수인 것을 확인할 수 있습니다.

 

한편, 모든 실수 $z \in (-1, 1)$에 대해

\begin{align*}
0<(1-z^2)^n \le 1, \quad 0<cos\left(\frac{\pi}{2}z\right) \le 1
\end{align*}

 

이므로,

 

\begin{align*}
&0<(1-z^2)^n \cos\left(\frac{\pi}{2}z\right)\le1\\
&0< \int^{1}_{-1}(1-z^2)^n \cos\left(\frac{\pi}{2}z\right) dz \le 2\\
&0< I_n\left(\frac{\pi}{2}\right) \le 2 \tag {1}
\end{align*}

 

임을 알 수 있습니다. 그리고

 

\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} \frac{a^{2n+1}}{n!} = 0
\end{equation*}

 

가 성립하는데(파이($\pi$)가 무리수인 이유 (1) - 아이반 니븐(Ivan Niven)의 증명 - 보조 정리 1 참고), 이는 곧 $n$이 커짐에 따라 값 $ \frac{a^{2n+1}}{n!} $이 $0$으로 다가간다는 뜻이므로, 충분히 큰 자연수 $N$에 대하여

 

$$
0 < \frac{a^{2N+1}}{N!} < \frac{1}{2} \tag {2}
$$

 

가 성립합니다. 이제 두 부등식 $(1)$과 $(2)$를 곱해주면,

 

\begin{align*}
&0 < \frac{a^{2N+1}I_N \left(\frac{\pi}{2}\right)}{N!} <1\\
&0 < Q_N\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot b^{2N+1} <1.
\end{align*}

 

을 얻을 수 있습니다.

 

그런데 $ Q_N\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot b^{2N+1} $는 정수이지만 $0$과 $1$ 사이에 존재하므로 모순입니다. 따라서 우리가 가정한 "$\pi$가 유리수이다" 틀렸음을 알 수 있습니다. 따라서, $\pi$는 무리수임이 증명되었습니다.

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오늘은 Cartwright의 증명을 통해 $\pi$가 무리수임을 증명해 보았습니다. 파이의 무리성 증명은 이 글로 마치도록 하겠습니다. 이해가 가지 않는 게 있으시다면 언제든 댓글 남겨주세요. 감사합니다.