체비쇼프 다항식$(\text{Chebyshev Polynomial})$

우리는 아래의 계산을 많이 해본 경험이 있을 겁니다.

\begin{align*}
    \cos{0\theta} &= 1\\
    \cos{1\theta} &= \cos{\theta}\\
    \cos{2\theta} &= 2\cos^2{\theta}-1\\
    \cos{3\theta} &= 4\cos^3{\theta}-3\cos{\theta}\\
                  &\vdots
\end{align*}

위의 식들을 보면, 자연스럽게 떠오르는 생각이 하나 있을 겁니다.  혹시 $\cos{n\theta}$ 또한 $\cos{\theta}$ 에 대한 일반화된 다항식으로 나타낼 수 없을까? 라고요. 오늘의 주제가 바로 $\cos{n\theta}$를 $\cos{\theta}$의 다항식으로 나타내는 체비쇼프 다항식입니다.

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체비쇼프 다항식(Chebyshev Polynomial)

 
(제1종) 체비쇼프 다항식 $T_{n}(x)$은 다음과 같이 정의된다:

 
\begin{align*}
    T_n (\cos{\theta}) = cos{n\theta},
\end{align*}
또는
\begin{align*}
    T_n (x) = cos(ncos^{-1} x).
\end{align*}

제일 위의 식으로부터, $T_n (x)$ 의 초깃값들을 구해 봅시다.
\begin{align*}
   T_0 (x) &= 1\\
   T_1 (x) &= x\\
   T_2 (x) &= 2x^2 -1\\
   T_3 (x) &= 4x^3-3x.
\end{align*}
초깃값들을 구했으니, 점화식을 한 번 찾아볼까요? 삼각함수 항등식을 통해 찾을 수 있습니다.
\begin{align*} \cos{(n+1)\theta} + \cos{(n-1)\theta} = 2\cos{\theta}\cos{n\theta}. \end{align*}
정리하면 다음 식을 얻을 수 있습니다.
\begin{align*} T_{n+1} (x) = 2x T_{n} (x) - T_{n-1} (x). \end{align*}
점화식을 통해 일반항을 찾으면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\begin{align*} T_n (x) &= \frac{1}{2} \left( (x-\sqrt{x^2 -1})^n + (x+\sqrt{x^2 -1})^n \right). \end{align*}
$x = \cos{\theta}$ 로 다시 바꿔보면,
\begin{align*} T_n (\cos{\theta}) &= \frac{1}{2} \left( (\cos{\theta}-\sqrt{(\cos{\theta})^2 -1})^n + (\cos{\theta}+\sqrt{(\cos{\theta})^2 -1})^n \right)\\ &= \frac{1}{2} \left( (\cos{\theta}-\sqrt{-\sin^2 {\theta}})^n + (\cos{\theta}+\sqrt{-\sin^2 {\theta}})^n \right)\\ &= \frac{1}{2} \left( (\cos{\theta}-i\sin{\theta})^n + (\cos{\theta}+i\sin{\theta})^n \right)\\ \cos{n\theta} &= \frac{1}{2} \left( (\cos{\theta}-i\sin{\theta})^n + (\cos{\theta}+i\sin{\theta})^n \right). \end{align*}
체비쇼프 다항식을 통해 드무아브르 공식도 반 증명했네요! $\sin{n\theta}$ 또한 $U_n (\sin{\theta}) = \sin{n\theta}$ 로 정의한 뒤 위 방식과 비슷하게 일반식을 구하면, 드무아브르 공식을 완벽히 증명할 수 있습니다.
 
체비쇼프 다항식은 고차방정식을 푸는데도 적용될 수 있습니다. 간단한 예제 하나를 살펴봅시다.
 
\begin{equation*} \frac{1}{2} = 16x^5 - 20x^3 + 5. \end{equation*}
체비쇼프 다항식으로부터 $$\cos{5\theta} = 16\cos^5{\theta} - 20\cos^3{\theta} + 5$$ 임을 알 수 있습니다. 이 사실을 통해 $$x = \cos{\theta}, \ \cos{5\theta} = \frac{1}{2}$$
인 $\theta$를 찾으면 해를 구할 수 있습니다. 따라서,
$$x = \cos{\frac{1}{15}\pi}, \ \cos{\frac{1}{3}\pi}, \ \cos{\frac{7}{15}\pi}, \ \cos{\frac{11}{15}\pi}, \ \cos{\frac{13}{15}\pi}$$
가 답이 됩니다.