$n$차 다항식의 근과 계수와의 관계와 $\text{Newton's Identities}$

우리는 아마 중학생 때부터 근과 계수의 관계에 대해 공부한 적이 있을 겁니다. Newton's identities는 $n$차 다항식까지 확장했을 때 근과 계수의 관계를 보여줍니다.

 

$x_1, x_2, \dots, x_n$ 을 근으로 가지는 $n$차 다항식

$$X^n - s_1 X^{n-1} + s_2 X^{n-2} - \dots + (-1)^{n} s_n = 0$$

을 생각해 봅시다. 그렇다면

$$\begin{gather*}
s_1 = \sum_{i=1}^n x_i, \quad s_2 = \sum_{i<j}^n x_i x_j, \quad  s_3 = \sum_{i<j<k}^n x_i x_j x_k, \\ \cdots \\ s_n = x_1 x_2 \cdots x_n
\end{gather*}$$

임이 성립합니다. 위 관계는 다항식을 $(X - x_1)(X - x_2) \cdots (X - x_n) = 0$ 으로 변환한 뒤, 전개 후 각 계수를 비교해 보면 쉽게 얻을 수 있습니다.

 

Newton's identities는 위 관계뿐만 아니라, 근의 거듭제곱의 합도 계수와 아름다운 관계를 가진다는 것을 보여줍니다.

 

임의의 정수 $k$에 대하여 $\sigma_k := \sum_{i=1}^n x_i^k$ 라고 정의합시다. 그러면 일반적으로 다음 관계가 성립합니다.

$$\sigma_k =\begin{cases}
    \sum_{i=1}^{k-1} (-1)^{i+1}s_i \sigma_{k-1} + (-1)^{k+1} k s_k & \text{for $k \leq n$}.\\
    \sum_{i=1}^{k-1} (-1)^{i+1}s_i \sigma_{k-1}, & \text{for $ k  > n$}.
  \end{cases}$$​

위에서 $k \geq n$인 경우는 쉽게 증명할 수 있습니다. 그러기 위해선 먼저

$$\sigma_n - s_1\sigma_{n-1} + s_2\sigma_{n-2} - s_3\sigma_{n-3} + \cdots + (-1)^ns_n = 0 $$

을 보여야 합니다. $x_1, x_2, \dots, x_n$이 다항식의 근임을 알기 때문에, 모든 $i = 1, \dots, n$에 대해

$$x_i^n - s_1 x_i^{n-1} + s_2 x_i^{n-2} - \dots + (-1)^{n} s_n = 0$$

이 성립합니다. 이 식을 모든 $i$에 대해 더해주면 $k=n$인 경우를 증명할 수 있습니다.

$k > n$인 경우에는 위 식에 $x_i^{k-n}$을 곱해서 더해주면 증명할 수 있습니다.