오늘은 $1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k$의 닫힌 형식을 구해보고자 합니다. 고등학교 수열 단원에서, 이러한 급수의 일반항을 배우셨을 겁니다. \begin{align*}     1 + 2 + 3 + \cdots + n &= \frac{n(n+1)}{2}\\     1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\     1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 &= \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2\\                          &\vdots \end{align*} 위의 식들을 보면, 자연스럽게 떠오르는 생각이 하나 있을 겁니다. 이것을 일반화한 급수 \begin{al..

우리는 아래의 계산을 많이 해본 경험이 있을 겁니다.\begin{align*}     \cos{0\theta} &= 1\\     \cos{1\theta} &= \cos{\theta}\\     \cos{2\theta} &= 2\cos^2{\theta}-1\\     \cos{3\theta} &= 4\cos^3{\theta}-3\cos{\theta}\\                   &\vdots \end{align*}위의 식들을 보면, 자연스럽게 떠오르는 생각이 하나 있을 겁니다.  혹시 $\cos{n\theta}$ 또한 $\cos{\theta}$ 에 대한 일반화된 다항식으로 나타낼 수 없을까? 라고요. 오늘의 주제가 바로 $\cos{n\theta}$를 $\cos{\theta}$의 다항식으로 나타내는..

오늘은 대칭다항식과 $s_1, s_2, \dots, s_n$의 관계에 대해 다루어 보려고 합니다. 일단 오늘의 주제를 얘기하기에 앞서, 정의부터 하고 넘어가겠습니다.대칭다항식다항식 $P(x_1,\ldots,x_n)$이 모든 순열 $\sigma$에 대해,\[ P(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)}) = P(x_1,\ldots,x_n). \] 을 만족하면 대칭다항식이라고 한다.  쉽게 말해서, 다항식의 변수를 서로 바꾸어도 같은 다항식이 나오는 것을 대칭다항식이라고 합니다. 기본 대칭다항식 기본 대칭다항식 $s_1, s_2, \ldots, s_n$을 다음과 같이 정의한다:\begin{gather*} s_1 = \sum_{i=1}^n x_i, \quad s_2 = \sum_{i 그럼..

우리는 아마 중학생 때부터 근과 계수의 관계에 대해 공부한 적이 있을 겁니다. Newton's identities는 $n$차 다항식까지 확장했을 때 근과 계수의 관계를 보여줍니다. $x_1, x_2, \dots, x_n$ 을 근으로 가지는 $n$차 다항식 $$X^n - s_1 X^{n-1} + s_2 X^{n-2} - \dots + (-1)^{n} s_n = 0$$을 생각해 봅시다. 그렇다면$$\begin{gather*}s_1 = \sum_{i=1}^n x_i, \quad s_2 = \sum_{i\end{gather*}$$임이 성립합니다. 위 관계는 다항식을 $(X - x_1)(X - x_2) \cdots (X - x_n) = 0$ 으로 변환한 뒤, 전개 후 각 계수를 비교해 보면 쉽게 얻을 수 있습니다..