1986 Putnam A3 문제

문제. 다음 값을 구하시오.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \cot^{-1} (1+n+n^2) $$

(단, $ \cot^{-1}(m)$의 공역은 $(0, \frac{\pi}{2}]$이다.)

 

아래에 해답이 있으니 보실 분들은 더보기를 눌러주세요.

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해답

우선, $\cot^{-1}(x)$는 $\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$로 변환할 수 있습니다. 따라서 원래의 급수는 다음과 같은 형태로 변환됩니다.

 

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^2}\right) $$

 

이제, 이 급수의 값을 어떻게 구할지를 생각해야 합니다. 일반적으로 몇개의 항의 값을 구하며 규칙을 구하면 좋겠지만, $tan^{-1}$값의 규칙을 찾는 것은 어려워 보입니다. 다음으로 생각해야 할 것은 $\tan^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^2}\right)$을 망원급수 꼴로 바꾸는 것입니다. 다음 식

 

$$ a_n - a_{n+1} = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^2}\right) \tag{1} $$

 

을 만족하는 수열 $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ 을 찾는다면, 구하고자 하는 급수의 값은

 

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^2}\right) = \tan^{-1} 1 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n - a_{n+1}  = \frac{\pi}{4} + a_1 \tag{2} $$ 

 

가 됩니다. 식 $(1)$을 다음과 같이 변환해봅시다.

 

$$ \tan(a_n - a_{n+1}) = \frac{1}{1+n+n^2} $$

 

그리고

 

$$ \tan(a_n - a_{n+1}) = \frac{a_n - a_{n+1}}{1+a_{n}a_{n+1}} $$

 

이므로, 

 

$$ \frac{a_n - a_{n+1}}{1+a_{n}a_{n+1}} = \frac{1}{1+n+n^2} $$

 

를 만족하는 $a_n$을 찾으면 됩니다. 우항을 좌항과 비슷한 꼴로 만들기 위해 자세히 관찰해보면,

 

$$ \frac{1}{1+n+n^2} = \frac{\frac{1}{n(n+1)}}{1+\frac{1}{n(n+1)}} = \frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n+1}} $$

 

를 만족하므로 $\tan{a_n} = \frac{1}{n}$임을 알 수 있습니다.

 

따라서, 식 $(2)$로부터 우리는 $a_1$ 값만 구하면 됩니다. $\tan{a_1} = 1$ 이므로, $a_1 = \frac{\pi}{4}$임을 알 수 있고, 구하고자 하는 값은 

 

$$ \frac{\pi}{4} + a_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $$

 

가 됩니다.

 

이 글에서 소개드린 문제 같이, 어떤 수열의 합 또는 곱을 구하는 문제를 푸실 때 망원급수 꼴로 바꾸는 테크닉을 숙지하신다면 많은 도움이 될 것입니다.