1984 Putnam A4 문제

문제. 다음 값을 구하시오.

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})} $$

 

아래에 해답이 있으니 보실 분들은 더보기를 눌러주세요.

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해답

이전에 소개드린 1986 Putnam A3 문제의 풀이와 유사합니다.

 

일반 항의 분모를 관찰해보았을 때 부분 분수로 쪼개어 망원급수로 바꾸면 쉽게 값을 구할 수 있겠다는 생각이 듭니다.

 

$$ \frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})} = \frac{a_k}{3^k-2^k} - \frac{a_{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}} $$

 

을 만족시키는 수열 $\{a_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ 을 찾는 것을 목표로 합시다. 위 식을 살짝 변형해봅시다.

 

$$ a_k (3^{k+1}-2^{k+1}) - a_{k+1}(3^k-2^k) = 6^k $$

 

다음을 만족하는 수열은 $ a_k = 2^k$ 임을 찾을 수 있습니다. 따라서 구하고자 하는 값은

 

\begin{align*} 
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})} 
&= \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{2^k}{3^k-2^k} -\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}} \right) \\ 
&= 2 
\end{align*}

 

가 됩니다.