1939 Putnam B7-(1) 문제

문제. $a_i := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n+i}}{(3n+i)!}$라고 하자. 다음 등식을 증명하시오:

 

$$ a_0^3 + a_1^3 + a_2^3 - 3a_0a_1a_2 = 1 $$

 

아래에 해답이 있으니 보실 분들은 더보기를 눌러주세요.

---

해답

일단 $a_0, a_1, a_2$를 전개해 봅시다.

 

\begin{align*}
a_0 &= \frac{x^0}{0!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^9}{9!} + \cdots \\
a_1 &= \frac{x^1}{1!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^7}{7!} + \frac{x^{10}}{10!} + \cdots \\
a_2 &= \frac{x^2}{2!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^8}{8!} + \frac{x^{11}}{11!} + \cdots 
\end{align*}

 

그리고, 증명하려는 식은 다음과 같이 인수분해됩니다.

 

\begin{align*}
a_0^3 + a_1^3 + a_2^3 - 3a_0a_1a_2 = (a_0 + a_1 + a_2)(a_0^2 + a_1^2 + a_2^2 - a_0 a_1 - a_0 a_2 - a_1 a_2) \tag{1}
\end{align*}

 

$a_0,a_1,a_2$를 전개한 꼴을 보니, 셋을 더하면 어떤 식이 나올 것 같습니다. 

 

\begin{align*}
a_0 + a_1 + a_2 &= \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x
\end{align*}

 

그럼 위 결과를 $(1)$의 우항에다 집어넣으면, 

 

$$
(a_0 + a_1 + a_2)(a_0^2 + a_1^2 + a_2^2 - a_0 a_1 - a_0 a_2 - a_1 a_2)=e^x(a_0^2 + a_1^2 + a_2^2 - a_0 a_1 - a_0 a_2 - a_1 a_2)
$$

 

이므로 

 

\begin{align*}
a_0^2 + a_1^2 + a_2^2 - a_0 a_1 - a_0 a_2 - a_1 a_2=e^{-x} \tag{2}
\end{align*}

 

임을 보이면 되겠습니다.

 

다음으로, 뜬금없지만, $1+\omega+\omega^2=0$을 만족시키는 한 허근, $\omega$ 를 생각해 봅시다. $\omega^3=1$ 인 성질을 사용하여, $a_0,a_1,a_2$에 대한 표현을 찾을 수 있을 것 같습니다. $e^{\omega x}$ 를 테일러 전개하면,

 

$$
e^{\omega x} = 1 + \omega x + \frac{\omega^2 x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{\omega x^4}{4!} + \frac{\omega^2 x^5}{5!} + \cdots
$$

 

이고 다음과 같이 묶을 수 있습니다.

 

\begin{align*}
e^{\omega x} &= \left( 1 + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots \right) + \omega \left( x + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) + \omega^2 \left( \frac{x^2}{2!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \right)\\
&= a_0 + \omega a_1 + \omega^2 a_2
\end{align*}

 

$a_0,a_1,a_2$에 대한 표현을 하나 찾았네요. $e^{\omega^2 x}$도 한번 전개해볼까요?

 

$$ e^{\omega^2 x} = 1 + \omega^2 x + \frac{\omega x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{\omega^2 x^4}{4!} + \cdots $$

 

이것도 위와 같이 묶어 봅시다.

 

\begin{align*}
e^{\omega^2 x} &= \left( 1 + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots \right) + \omega^2 \left( x + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) + \omega \left( \frac{x^2}{2!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \right)\\
&= a_0 + \omega^2 a_1 + \omega a_2
\end{align*}

이렇게 얻은 두 식을 곱해보면, 

 

\begin{align*}
(a_0 + \omega a_1 + \omega^2 a_2)(a_0 + \omega^2 a_1 + \omega a_2) &= a_0^2 + a_1^2 + a_2^2 - a_0 a_1 - a_0 a_2 - a_1 a_2\\
&= e^{\omega x} e^{\omega^2 x} = e^{(\omega + \omega^2) x} = e^{-x}
\end{align*}

 

원하는 결과 $(2)$를 얻었으므로 증명이 끝났습니다.