1986 Putnam A3 문제

문제. 다음 값을 구하시오.

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\cot }^{-1}(1+n+n^2)$$

(단, ${\cot }^{-1}(m)$의 공역은 $(0,\frac{\pi }{2}]$이다.)

 

아래에 해답이 있으니 보실 분들은 더보기를 눌러주세요.

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해답

우선, ${\cot }^{-1}(x)$는 ${\tan }^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$로 변환할 수 있습니다. 따라서 원래의 급수는 다음과 같은 형태로 변환됩니다.

 

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^2}\right)$$

 

이제, 이 급수의 값을 어떻게 구할지를 생각해야 합니다. 일반적으로 몇개의 항의 값을 구하며 규칙을 구하면 좋겠지만, $ta{n}^{-1}$값의 규칙을 찾는 것은 어려워 보입니다. 다음으로 생각해야 할 것은 ${\tan }^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^2}\right)$을 망원급수 꼴로 바꾸는 것입니다. 다음 식

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& a_n-a_{n+1}={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^2}\right)\end{array}$$

 

을 만족하는 수열 $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ 을 찾는다면, 구하고자 하는 급수의 값은

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^2}\right)={\tan }^{-1}1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n-a_{n+1}=\frac{\pi }{4}+a_1\end{array}$$ 

 

가 됩니다. 식 $(1)$을 다음과 같이 변환해봅시다.

 

$$\tan (a_n-a_{n+1})=\frac{1}{1+n+n^2}$$

 

그리고

 

$$\tan (a_n-a_{n+1})=\frac{a_n-a_{n+1}}{1+a_n{a}_{n+1}}$$

 

이므로, 

 

$$\frac{a_n-a_{n+1}}{1+a_n{a}_{n+1}}=\frac{1}{1+n+n^2}$$

 

를 만족하는 $a_n$을 찾으면 됩니다. 우항을 좌항과 비슷한 꼴로 만들기 위해 자세히 관찰해보면,

 

$$\frac{1}{1+n+n^2}=\frac{\frac{1}{n(n+1)}}{1+\frac{1}{n(n+1)}}=\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n+1}}$$

 

를 만족하므로 $\tan a_n=\frac{1}{n}$임을 알 수 있습니다.

 

따라서, 식 $(2)$로부터 우리는 $a_1$ 값만 구하면 됩니다. $\tan a_1=1$ 이므로, $a_1=\frac{\pi }{4}$임을 알 수 있고, 구하고자 하는 값은 

 

$$\frac{\pi }{4}+a_1=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$$

 

가 됩니다.

 

이 글에서 소개드린 문제 같이, 어떤 수열의 합 또는 곱을 구하는 문제를 푸실 때 망원급수 꼴로 바꾸는 테크닉을 숙지하신다면 많은 도움이 될 것입니다.