문제. 다음 값을 구하시오.$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})} $$ 아래에 해답이 있으니 보실 분들은 더보기를 눌러주세요.해답더보기이전에 소개드린 1986 Putnam A3 문제의 풀이와 유사합니다.  일반 항의 분모를 관찰해보았을 때 부분 분수로 쪼개어 망원급수로 바꾸면 쉽게 값을 구할 수 있겠다는 생각이 듭니다. $$ \frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})} = \frac{a_k}{3^k-2^k} - \frac{a_{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}} $$ 을 만족시키는 수열 $\{a_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ 을 찾는 것을 목표로 합시다. 위 식을 살짝 변형해봅시다. $$ a..

문제. 다음 값을 구하시오.$$ \sum_{n=0}^{\infty} \cot^{-1} (1+n+n^2) $$(단, $ \cot^{-1}(m)$의 공역은 $(0, \frac{\pi}{2}]$이다.) 아래에 해답이 있으니 보실 분들은 더보기를 눌러주세요.해답더보기우선, $\cot^{-1}(x)$는 $\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$로 변환할 수 있습니다. 따라서 원래의 급수는 다음과 같은 형태로 변환됩니다. $$ \sum_{n=0}^{\infty} \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^2}\right) $$ 이제, 이 급수의 값을 어떻게 구할지를 생각해야 합니다. 일반적으로 몇개의 항의 값을 구하며 규칙을 구하면 좋겠지만, $tan^{-1}$값의 규칙을 찾는 것은..

문제. $a_i := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n+i}}{(3n+i)!}$라고 하자. 다음 등식을 증명하시오: $$ a_0^3 + a_1^3 + a_2^3 - 3a_0a_1a_2 = 1 $$ 아래에 해답이 있으니 보실 분들은 더보기를 눌러주세요.해답더보기일단 $a_0, a_1, a_2$를 전개해 봅시다. \begin{align*}a_0 &= \frac{x^0}{0!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^9}{9!} + \cdots \\a_1 &= \frac{x^1}{1!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^7}{7!} + \frac{x^{10}}{10!} + \cdots \\a_2 &= \frac{x^2}{2!} + \..

문제. 평면에서 어떤 점 $P$를 선택하면, 점 $P$로부터 거리가 무리수인 점들이 평면에서 지워진다고 하자. 최소 몇 개의 점들을 선택해야 평면 위에 있는 점들을 모두 지울 수 있을까? 아래에 해답이 있으니 보실 분들은 더보기를 눌러주세요.해답더보기정답은 3개입니다. 일단, 최소 개수가 3개이니 1개, 2개가 왜 안 되는지 살펴봅시다. 처음 점을 하나 선택할 때, 일반성을 잃지 않고 그 점을 원점, 즉 $(0,0)$으로 설정할 수 있습니다. 원점만을 선택한다면, 거리가 유리수인 점이 존재하므로 평면 위에 있는 점들을 모두 지울 수 없습니다. 그럼, 이제 원점 $(0,0)$과 임의의 다른 점을 선택해봅시다. 축을 그리지 않았기 때문에, 회전을 생각한다면 일반성을 잃지 않고 임의의 점을 $(a,0)$ $(..